Анатолий Иванович родился 18 июля 1932 г. в Нижнем Тагиле Свердловской области. После окончания Нижнетагильского художественно-промышленного училища, продолжил учебу в Ленинградском институте живописи, скульптуры и архитектуры им. И.Е. Репина Академии художеств СССР и получил специальность скульптора.

Работал в Свердловске, где создал ряд портретов героев Великой Отечественной войны и выдающихся деятелей современности. В 1960 году стал членом Союза художников РСФСР.

С 1967 года Клюев жил и работал в Ульяновске. Анатолий Иванович - автор монументальных памятных сооружений в Ульяновске и Ульяновской области, серии портретов рабочих, деятелей истории и культуры России. Среди них: -  памятные доски Пушкарёву, Орлову, Рябикову, Любищеву, Доватору, памятная доска на здании госпиталя ветеранов войн, горельеф Чкалова, декоративный рельеф Дома офицеров. Принимал участие в оформлении интерьеров Дворца книги, училища культуры, школ города и области и других общественных зданий и культурных объектов.  

Долгие годы Клюев преподавал на кафедре живописи, рисунка и скульптуры УлГУ, занимал должность профессора. Коллеги и студенты помнят его как художника большого таланта, яркого педагога, многогранного и интеллигентного человека.

 Анатолий Иванович – заслуженный художник России, за многолетнюю работу отмечен дипломом Совета министров РСФСР, медалью к 100-летию В.И. Ленина, медалью «Ветеран труда», почетной грамотой губернатора Ульяновской области, благодарственным письмом Законодательного собрания, почетной грамотой мэрии города Ульяновска.

Коллектив Ульяновского государственного университета скорбит по случаю смерти талантливого художника и педагога и выражает искренние соболезнования родным и близким Анатолия Ивановича.